最小表示法
最小表示法是用于解决字符串最小表示问题的方法。
字符串的最小表示¶
循环同构¶
当字符串 S 中可以选定一个位置 i 满足
S[i\cdots n]+S[1\cdots i-1]=T
则称 S 与 T 循环同构
最小表示¶
字符串 S 的最小表示为与 S 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串
simple 的暴力¶
我们每次比较 i 和 j 开始的循环同构,把当前比较到的位置记作 k,每次遇到不一样的字符时便把大的跳过,最后剩下的就是最优解。
// C++ Version
int k = 0, i = 0, j = 1;
while (k < n && i < n && j < n) {
if (sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]) {
++k;
} else {
if (sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n])
++i;
else
++j;
k = 0;
if (i == j) i++;
}
}
i = min(i, j);
# Python Version
k, i, j = 0, 0, 1
while k < n and i < n and j < n:
if sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]:
k += 1
else:
if sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n]:
i += 1
else:
j += 1
k = 0
if i == j:
i += 1
i = min(i, j)
随机数据下表现良好,但是可以构造特殊数据卡掉。
例如:对于 \texttt{aaa}\cdots\texttt{aab}, 不难发现这个算法的复杂度退化为 O(n^2)。
我们发现,当字符串中出现多个连续重复子串时,此算法效率降低,我们考虑优化这个过程。
最小表示法¶
算法核心¶
考虑对于一对字符串 A,B, 它们在原字符串 S 中的起始位置分别为 i,j, 且它们的前 k 个字符均相同,即
A[i \cdots i+k-1]=B[j \cdots j+k-1]
不妨先考虑 A[i+k]>B[j+k] 的情况,我们发现起始位置下标 l 满足 i\le l\le i+k 的字符串均不能成为答案。因为对于任意一个字符串 S_{i+p}(表示以 i+p 为起始位置的字符串)一定存在字符串 S_{j+p} 比它更优。
所以我们比较时可以跳过下标 l\in [i,i+k], 直接比较 S_{i+k+1}
这样,我们就完成了对于上文暴力的优化。
时间复杂度¶
O(n)
算法流程¶
- 初始化指针 i 为 0,j 为 1;初始化匹配长度 k 为 0
- 比较第 k 位的大小,根据比较结果跳转相应指针。若跳转后两个指针相同,则随意选一个加一以保证比较的两个字符串不同
- 重复上述过程,直到比较结束
- 答案为 i,j 中较小的一个
代码¶
// C++ Version
int k = 0, i = 0, j = 1;
while (k < n && i < n && j < n) {
if (sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]) {
k++;
} else {
sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n] ? i = i + k + 1 : j = j + k + 1;
if (i == j) i++;
k = 0;
}
}
i = min(i, j);
# Python Version
k, i, j = 0, 0, 1
while k < n and i < n and j < n:
if sec[(i + k) % n] == sec[(j + k) % n]:
k += 1
else:
if sec[(i + k) % n] > sec[(j + k) % n]:
i = i + k + 1
else:
j = j + k + 1
if i == j:
i += 1
k = 0
i = min(i, j)
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